Question

3．已知定义在（0，+∞）上的函数满足xf′（x）+（2-x）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x+lnx-1），则下列不等式一定正确的是（　　）

• A． 4f（1）＜$\sqrt{e}$f（$\frac{1}{2}$）
• B． 4f（2）＜ef（1）
• C． 4ef（2）＞9f（3）
• D． e${\;}^{\frac{3}{2}}$f（$\frac{1}{2}$）＜16f（2）

Answer 1

分析 根据条件构造g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：由xf′（x）+（2-x）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x+lnx-1），得$\frac{{x}^{2}f′（x）+（2x-{x}^{2}）f（x）}{{e}^{x}}$=x+lnx-1，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{[{x}^{2}f（x）]′{e}^{x}-[{x}^{2}f（x）]{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{2xf（x）+{x}^{2}f′（x）-{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}f′（x）+（2x-{x}^{2}）f（x）}{{e}^{x}}$=x+lnx-1，
设h（x）=x+lnx-1，则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（1）=0，
则当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，此时g′（x）=h（x）＞0，此时函数g（x）为增函数，
当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，此时g′（x）=h（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，
由g（2）＞g（1），
即$\frac{4f（2）}{{e}^{2}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即4f（2）＞ef（1），
由g（3）＞g（2），得$\frac{9f（3）}{{e}^{3}}$＞$\frac{4f（2）}{{e}^{2}}$，即4ef（2）＜9f（3），
由g（$\frac{1}{2}$）＞g（1），
得$\frac{\frac{1}{4}f（\frac{1}{2}）}{{e}^{\frac{1}{2}}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即4f（1）＜$\sqrt{e}$f（$\frac{1}{2}$），
故选：A

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．