Question

（本小题满分13分）
已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．
设数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列中，令，，求；
（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．

Answer 1

（1） ；
（2）；
（3）数列共有个变号数，即变号数为。

解析试题分析：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴，
当时，函数在上高考资源网递增，故不存在，使得不等式成立----------------2分
当时，函数在上高考资源网递减，故存在，使得不等式成立。
综上高考资源网，得，，∴，
∴  ---------------4分
（2）∵     ∴ 


∴ --------------------8分
（3）解法一：由题设------------9分
∵时，，
∴时，数列递增-------------------10分
∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；
又∵，即，∴此处变号数有个．
综上高考资源网得 数列共有个变号数，即变号数为-----------13分
解法二：由题设-----------(9分)
时，令；
又∵，∴时也有．
综上高考资源网得：数列共有个变号数，即变号数为-----------13分
考点：本题主要考查函数的概念，等差数列、等比数列的的基础知识，“错位相消法”，简单不等式的解法。
点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从处理函数问题入手，确定得到a的值，从而求得了，进一步转化成数列问题的研究。“错位相消法”是高考常常考到数列求和方法。