Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4x+8}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$，求f（x）的最小值，并求此时的x的值．

Answer 1

分析 化简f（x）=$\sqrt{（x-2）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$，从而可知f（x）是点C（x，0）与点B（2，-2）、A（1，1）的距离之和，从而作图求解即可．

解答 解：f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4x+8}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$，
故f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4x+8}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$是点C（x，0）与点B（2，-2）、A（1，1）的距离之和，如图，

结合图象可知，
当A、B、C三点共线时，f（x）有最小值．
f（x）的最小值为$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
此时x=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及几何意义的应用，属于中档题．