Question

在R上可导的函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则

b-3

a-1

的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• B、（-

  1

  2

  ，

  3

  4

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（

  1

  4

  ，1）

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：函数的性质及应用

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答： 解∵f′（x）=x²+ax+2b，
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如

b-3

a-1

表示点A（3，1）与可行域内的点B连线的斜率，
当B（x，y）=M（-1，0）时，

b-3

a-1

最大，最大为

3

2

；
当B（x，y）=N（-3，1）时，

b-3

a-1

最小，最小为

1

2

，
∴

b-3

a-1

的取值范围（

1

2

，

3

2

），
故选：A

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．