Question

9£®ÒÑÖª¡÷ABCµÄÄÚ½ÇΪA¡¢B¡¢C£¬Æä¶Ô±ß·Ö±ðΪa¡¢b¡¢c£¬ÒÑÖªBΪÈñ½Ç£¬ÏòÁ¿$\overrightarrow m=£¨2sinB£¬-\sqrt{3}£©£¬\overrightarrow n=£¨cos2B£¬2{cos^2}\frac{B}{2}-1£©$£¬ÇÒ$\overrightarrow m$¡Î$\overrightarrow n$£®
£¨¢ñ£©Çó½ÇBµÄ´óС¼°µ±$b¡Ê[\sqrt{3}£¬2\sqrt{3}]$ʱ£¬¡÷ABCµÄÍâ½ÓÔ²°ë¾¶RµÄÈ¡Öµ·¶Î§£»
£¨¢ò£©Èç¹ûb=2£¬ÇóS_¡÷ABCµÄ×î´óÖµ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨¢ñ£©ÓÉƽÃæÏòÁ¿¹²Ïߣ¨Æ½ÐУ©µÄ×ø±ê±íʾ¿ÉµÃ2sinB•£¨2cos²$\frac{B}{2}$-1£©+$\sqrt{3}$cos2B=0£¬ÀûÓÃÈý½Çº¯ÊýºãµÈ±ä»»µÄÓ¦Óû¯¼ò¿ÉµÃ2sin£¨2B+$\frac{¦Ð}{3}$£©=0£¬½áºÏBΪÈñ½Ç¿ÉÇóB£¬ÓÉÕýÏÒ¶¨Àí¼´¿ÉµÃ½â£®
£¨¢ò£©ÓÉÓàÏÒ¶¨Àí¿ÉµÃac=a²+c²-4£¬ÀûÓûù±¾²»µÈʽ¿ÉµÃac¡Ü4£¬¸ù¾ÝÈý½ÇÐÎÃæ»ý¹«Ê½¼´¿ÉÇóÆä×î´óÖµ£®

½â´ð £¨±¾ÌâÂú·ÖΪ12·Ö£©
½â£º£¨¢ñ£©¡ß$\overrightarrow m$¡Î$\overrightarrow n$£¬
⇒2sinB•£¨2cos²$\frac{B}{2}$-1£©+$\sqrt{3}$cos2B=0£¬¡­£¨2·Ö£©
⇒sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=0
⇒2sin£¨2B+$\frac{¦Ð}{3}$£©=0£¨BΪÈñ½Ç£©
⇒2B=$\frac{2¦Ð}{3}$
⇒B=$\frac{¦Ð}{3}$£¬¡­£¨4·Ö£©
¡àR=$\frac{b}{2sinB}=\frac{b}{\sqrt{3}}¡Ê$[1£¬2]¡­£¨6·Ö£©
£¨¢ò£©ÓÉcosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{2}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$£¬¿ÉµÃ£ºac=a²+c²-4£¬¡­£¨8·Ö£©
¡ßa²+c²¡Ý2ac£¬¡àac¡Ü4£¬¡­£¨10·Ö£©
¡àS_¡÷ABC=$\frac{1}{2}$acsinB¡Ü$\frac{1}{2}¡Á4¡Á\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$£¬
¼´S_¡÷ABCµÄ×î´óֵΪ$\sqrt{3}$£®¡­£¨12·Ö£©

µãÆÀ ±¾ÌâÖ÷Òª¿¼²éÁËƽÃæÏòÁ¿¹²Ïߣ¨Æ½ÐУ©µÄ×ø±ê±íʾ£¬Èý½Çº¯ÊýºãµÈ±ä»»µÄÓ¦Óã¬ÕýÏÒ¶¨Àí£¬ÓàÏÒ¶¨Àí£¬»ù±¾²»µÈʽ£¬Èý½ÇÐÎÃæ»ý¹«Ê½ÔÚ½âÈý½ÇÐÎÖеÄÓ¦Ó㬿¼²éÁËת»¯Ë¼ÏëºÍÊýÐνáºÏ˼ÏëµÄÓ¦Óã¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮