【题目】已知函数f(x)= sin(ωx﹣ )+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 ,当x∈[0, ]时,f(x)的最大值为1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数g(x)图象,若g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0, ]上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)= sin(ωx﹣ )+b(ω>0),且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为 ,
∴ = ,可得:T=π,由 =π,可得:ω=2,
∴f(x)= sin(2x﹣ )+b,
∵当x∈[0, ]时,2x﹣ ∈[﹣ , ],
∴由于y=sinx在[﹣ , ]上单调递增,可得当2x﹣ = ,即x= 时,函数f(x)取得最大值f( )= sin +b,
∴ sin +b=1,解得b=﹣ ,
∴f(x)= sin(2x﹣ )﹣
(2)解:将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为:g(x)= sin[2(x﹣ )﹣ ]﹣ = sin(2x﹣ )﹣ ,
∵当x∈[0, ]时,可得:2x﹣ ∈[﹣ , ],g(x)= sin(2x﹣ )﹣ ∈[﹣2,1],
∴g(x)﹣3∈[﹣5,﹣2],g(x)+3∈[1,4],
∵g(x)﹣3≤m≤g(x)+3在x∈[0, ]上恒成立,
∴m∈[﹣5,4].
【解析】(1)由题意可求T=π,利用周期公式可求ω的值,可得解析式f(x)= sin(2x﹣ )+b,结合范围2x﹣ ∈[﹣ , ],利用正弦函数的有界性解得b的值,从而可求函数f(x)的解析式.(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)= sin(2x﹣ )﹣ ,结合范围2x﹣ ∈[﹣ , ],可求范围g(x)= sin(2x﹣ )﹣ ∈[﹣2,1],结合已知可求m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象即可以解答此题.
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【题目】已知曲线C上的动点P()满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B(1,0)距离之比为
(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N,若|MN|=4,求直线的方程。
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【题目】如图,某旅游区拟建一主题游乐园,该游乐区为五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为主题游乐区,四边形区域为BCDE为休闲游乐区,AB、BC,CD,DE,EA,BE为游乐园的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=120°,∠BAE=60°,DE=3BC=3CD=3km.
(1)求道路BE的长度;
(2)求道路AB,AE长度之和的最大值.
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【题目】正项等比数列{an},若2a1+3a2=1,a32=9a2a6 .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+log3a3+…log3an , 求数列{ }的前n项和Sn .
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【题目】设函数f(x)= ,若互不相等的实数x1 , x2 , x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )
A.( ]
B.( )
C.( ]
D.( )
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【题目】已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
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