Question

13．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-$\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得f（x）的导数，f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），根据取得极大值点求得a的取值范围．
（Ⅱ）将方程f（x）=-$\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$看作两个函数，利用导数得到函数f（x）的大体图象，而函数y=-$\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$为一条平行于x轴的直线，利用交点个数说明a的值
（Ⅲ）依题意有：函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值与最小值的差不大于m，转换思路，求最值．

解答 解：（Ⅰ）f（0）=0⇒c=0，f'（x）=3x²+2ax+b，f'（1）=0⇒b=-2a-3，…2分
∴f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0⇒x=1或$x=-\frac{2a+3}{3}$
因为当x=1时取得极大值，所以$-\frac{2a+3}{3}＞1⇒a＜-3$，
所以a的取值范围是：（-∞，-3）；…4分
（Ⅱ）由下表：

x	x＜1	x=1	$1＜x＜-\frac{2a+3}{3}$	$x=-\frac{2a+3}{3}$	$x＞-\frac{2a+3}{3}$
f'（x）	+	0	-	0	-
f（x）	递增	极大值-a-2	递减	极小值$\frac{a+6}{27}{（{2a+3}）^2}$	递增

…7分
画出f（x）的简图：

依题意得：$\frac{a+6}{27}{（{2a+3}）^2}=-\frac{{{{（{2a+3}）}^2}}}{9}$，
解得：a=-9，
所以函数f（x）的解析式是：f（x）=x³-9x²+15x；…9分
（Ⅲ）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
依题意有：函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值与最小值的差不大于m，…10分
在区间[-2，2]上有：f（-2）=-8-36-30=-74f（1）=7，
f（2）=8-36+30=2f（x）的最大值是f（1）=7，
f（x）的最小值是f（-2）=-8-36-30=-74，…13分
所以m≥81即m的最小值是81．…14分．

点评 本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，利用函数得极值画函数图象的能力，属于中档题，高考经常涉及．