Question

7．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为3的球面上，O是球心，∠AOB=150°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，可得当∠AOC=∠BOC=90°时，△AOC和△BOC的面积之和最大，此时OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，然后利用等积法求得答案．

解答 解：如图，

设球O的半径为R，则R=3．
∵S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$R²（sin∠AOC+sin∠BOC），
∴当∠AOC=∠BOC=90°时，△AOC和△BOC的面积之和最大，
此时OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，
∴V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{R}^{2}sin150°×R$
=$\frac{1}{6}×{3}^{3}×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查柱、锥、台体得体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．