Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆的左、右焦点分别是F₁、F₂，点M为椭圆上的一个动点，△MF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆上一点，PF₁与y轴相交于Q，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$．若PF₁与椭圆相交于另一点R，求△PRF₂的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ） 由$\overrightarrow{F1P}$=2$\overrightarrow{F1Q}$，知Q为F₁P的中点，设Q（0，y），则P（1，2y），由此利用韦达定理、弦长公式能求出△PRF₂的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
椭圆的左、右焦点分别是F₁、F₂，点M为椭圆上的一个动点，△MF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$．
∴由已知条件：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$．
解得a=2，$b=\sqrt{3}，c=1$．
∴椭圆C的方程为$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1．…（4分）
（Ⅱ） 由$\overrightarrow{F1P}$=2$\overrightarrow{F1Q}$，知Q为F₁P的中点，
∴设Q（0，y），则P（1，2y），
又P满足椭圆的方程，代入求得y=$\frac{3}{4}$．∴直线PF方程为y=$\frac{3}{4}$（x+1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}（x+1）\\ \frac{x2}{4}+\frac{y2}{3}=1\end{array}$ 得7x²+6x-13=0，…（8分）
设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6}{7}$，x₁x₂=-$\frac{13}{7}$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{6}{7}，{y_1}{y_2}=-\frac{27}{28}$，
∴${S_{△PR{F_2}}}=\frac{1}{2}•2c•|{{y_1}-{y_2}}|=c•\sqrt{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{15}{7}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用．