Question

已知抛物线y=ax²（a＞0）上两个动点A、B（不在原点），满足

OA

⊥OB，若存在定点M，使得

OM

=λ

OA

+μ

OB

且λ+μ=1，则M坐标为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知得A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1=ax12，y2=ax22，由此利用点差法求出直线AB过定点（0，

1

a

），M点坐标是（0，

1

a

）．

解答： 解：由

OM

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，
得

OM

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，
即

BM

=λ

BA

，
∴A，B，M三点共线，于是问题转化为动直线过定点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1=ax12，y2=ax22，
两式相减，得y₁-y₂=a（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=a(x1+x2)，
∴直线AB方程为y-y₁=a（x₁+x₂）（x-x₁），
即y=a（x₁+x₂）（x-x₁）+y₁=a（x₁+x₂）x-ax12-ax1x2+ax12=a（x₁+x₂）x-ax₁x₂，①
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x1x2+ax12x22=0，∴a²x₁x₂=-1，②
把②代入①，得y=a（x₁+x₂）x+

1

a

，
∴直线AB过定点（0，

1

a

），M点坐标是（0，

1

a

）．
故答案为：（0，

1

a

）．

点评：本题考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．