Question

已知m为参数，对?x∈[1，+∞），函数f（x）=

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立，求m的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：当x=1时，对于任意实数m不等式

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立；当x∈[1，+∞）时，把

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立转化为即xlnx≤m（x²-1）恒成立，构造函数g（x）=xlnx-mx²+m，利用导数分析其单调性，从而求得m的取值范围．

解答： 解：当x=1时，

xlnx

x+1

≤m（x-1）对于任意实数m都成立；
当x∈（1，+∞）时，要使

xlnx

x+1

≤m（x-1）恒成立，
即xlnx≤m（x²-1）恒成立，
令g（x）=xlnx-mx²+m，
则g′（x）=lnx+1-2mx，
再令u（x）=lnx+1-2mx，
则u′(x)=

1

x

-2m=

1-2mx

x

=

-2m(x- 1 2m )

x

，
当m≥

1

2

时，对于x∈（1，+∞），有u′（x）≤0，
u（x）为减函数，
则u（x）＜u（1）=1-2m≤0．
g′（x）＜0，g（x）为减函数，则g（x）＜g（1）=0；
即xlnx≤m（x²-1）恒成立；
当m＜

1

2

时，对于x∈（1，+∞），有u′（x）＞0，
u（x）为增函数，
则u（x）＞u（1）=1-2m＞0．
g′（x）＞0，g（x）为增函数，则g（x）＞g（1）=0．
xlnx≤m（x²-1）不成立．
∴m的范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，是中档题．