Question

若

a

=（cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

b

=（cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

），设f（x）=

a

•

b

；
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的三角函数间的关系可将f（x）化简为：f（x）=

2

sin（x+

3π

4

）即可求其最小正周期；
（2）利用正弦函数的单调性，构造关于x的不等式组，解得即可求得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

b

=（cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

），
∴f（x）=

a

•

b

=cos²

x

2

-sin²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx=

2

sin（x+

3π

4

），
∵ω=1，故f（x）的最小正周期为2π；
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得：2kπ-

5π

4

≤x≤2kπ-

π

4

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-

5π

4

，2kπ-

π

4

]（k∈Z）
由2kπ+

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）

点评：本题考查正弦函数的单调性，考查两角和与差的三角函数间的关系，考查倍角公式，属于中档题．