Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n；数列{b_n}满足b₁=3，b₂=6，且{b_n-a_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意知数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=2的等比数列，数列{b_n-a_n}的公差为d=2，由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=2n+2n-1，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=2的等比数列，
所以an=2n-1；
因为b₁-a₁=2，b₂-a₂=4，
所以数列{b_n-a_n}的公差为d=2．
所以b_n-a_n=（b₁-a₁）+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
所以bn=2n+2n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=2n+2n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2^n-1）
=

(2+2n)n

2

+

1×(1-2n)

1-2

=n（n+1）+2ⁿ-1．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．