Question

已知正实数x，y满x²+y²+z²=1，则S=

1

2xyz2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意，连用两次基本不等式，再检验等号是否能同时取得即可．

解答： 解：由x²+y²+z²=1得，
z²=1-（x²+y²）≤1-2xy；
（当且仅当x=y时，等号成立）
故S=

1

2xyz2

≥

1

2xy(1-2xy)

，
又∵2xy（1-2xy）≤(

1

2

)2=

1

4

；
故

1

2xy(1-2xy)

≥4；
（当且仅当2xy=

1

2

时，等号成立）；
综上所述，当且仅当x=y=

1

2

时，等号成立；
故S=

1

2xyz2

的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．