Question

已知a≥0，函数f(x)＝(x²－2ax)e^x．

(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

(2)设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)对函数f(x)求导数，得(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex，令(x)＝0，即[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，从而x2＋2(1－a)x－2a＝0．解得x1＝a－1－1＋a2，x2＝a－1＋1＋a2，其中x1＜x2． 　　当x变化时，(x)、f(x)的变化如下表： 　　所以f(x)在x＝x1处取到极大值，在x＝x2处取到极小值． 　　当a≥0时，x1＜－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上为减函数，在(x2，＋∞)上为增函数，而当x＜0时，f(x)＝x(x－2a)ex＞0； 　　当x＝0时，f(x)＝0，所以当x＝a－1＋时，f(x)取得最小值． 　　(2)当a≥0时，x1＜－1，所以f(x)在[－1，1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥．综上，f(x)在[－1，1]上为单调函数的充要条件为a≥，即a的取值范围是[，＋∞)． 　　解析：(1)根据求最小值的方法直接求解最小值；(2)若f(x)在[－1，1]上是单调函数，那么[－1，1]应该是(1)中单调区间的子集．