Question

【题目】先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a1 ， a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥ ．
【证明】构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2
则f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22
=2x2﹣2x+a12+a22
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0．
所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥ ，
（1）若a1 ， a2 ， …，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，

求证：a12+a22+…+an2≥

（2）

解：证明：构造函数

f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣an）2

=nx2﹣2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2

=nx2﹣2x+a12+a22+…+an2

因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+an2）≤0

从而证得：a12+a22+…+an2≥

【解析】（1）由已知中已知a1 ， a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥ ，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1 ， a2 ， …，an∈R，a1+a2+…+an=1，则a12+a22+…+an2≥ ．（2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．