Question

【题目】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，解关于的不等式；

（3）当时，如果函数不存在极值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．（2） （3）

【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需恒成立，根据这个要求得出的范围.

试题解析：

（1）时，，

令，解得，

且时，，单调递减；

时，，单调递增．

所以单调递增区间为；单调递减区间为．

（2）时，．

当时，原不等式可化为．

记，则，

当时，，

所以在单调递增，又，故不等式解为；

当时，原不等式可化为，显然不成立，

综上，原不等式的解集为．

（3）时，，

，记，

因为时，，

所以不存在极值点时恒成立.

由，解得

且时，，单调递减；

时，，单调递增．

所以，解得．