Question

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a²+c²-b²=ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{2}$，C=45°，求c边的长及面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，通过余弦定理，求出角B的余弦函数值，然后求解角的大小；
（Ⅱ）利用b=$\sqrt{2}$，C=45°，通过正弦定理直接求c边的长利用三角形的面积公式求解面积S_△ABC．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由a²+c²-b²=ac得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，…（3分）
而0＜B＜180°，所以B=60°．　       …（4分）
（Ⅱ）∵$b=\sqrt{2}$，C=45°，B=60°，
由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得，$c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{\sqrt{2}sin{{45}°}}}{{sin{{60}°}}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$． 　　…（8分）
A=180°-45°-60°=75°，
则S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{2}{3}\sqrt{3}$×$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{6}$…（12分）

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．