Question

17．已知集合A={y|y＜a或y＞a²+1}，B={y|y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，0≤x≤3}，
（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（∁_RA）∩B．

Answer 1

分析 （1）求解函数的值域化简集合B，由A∩B=∅，利用两集合端点值间的关系列不等式组求得a的取值范围；
（2）由不等式x²+1≥ax恒成立求出a的范围，得到a的最小值，求出A，进一步得到∁_RA，与集合B取交集得答案．

解答 解：（1）A={y|y＜a或y＞a²+1}，B={y|y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，0≤x≤3}={y|2≤y≤4}，
若A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{{a}^{2}+1≥4}\end{array}\right.$，解得：$a≤-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}≤a≤2$．
∴a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}，2$]；
（2）由x²+1≥ax，得x²-ax+1≥0恒成立，
则△=a²-4≤0，即-2≤a≤2．
即a的最小值为-2，当a=-2时，A={y|y＜-2或y＞5}．
∴∁_RA={y|-2≤y≤5}．
则（∁_RA）∩B={y|2≤y≤4}．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，考查了函数值域的求法，训练了恒成立问题的解法，是基础题．