Question

5．设F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{t{a}^{2}}$=1（a＞0，t＞0）的左、右焦点，过F₁且且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支相交于点P，若|PF₂|=|F₁F₂|，则t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设出双曲线的焦点，由条件可得∠PF₂F₁=120°，求得|PF₁|，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{t{a}^{2}}$=1的焦点为F₁（-c，0），
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由∠PF₁F₂=30°，则∠PF₂F₁=120°，
则有|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可得，|PF₁|=2a+2c，
由2$\sqrt{3}$c=2a+2c，即有a=（$\sqrt{3}$-1）c，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
由c²=（1+t）a²，
又c²=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）a²，
可得t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，运用定义是解本题的关键．