Question

13．已知a，b，c∈R₊，求证：$\frac{1}{{a}^{3}+{b}^{3}+abc}$+$\frac{1}{{b}^{3}+{c}^{3}+abc}$+$\frac{1}{{c}^{3}+{a}^{3}+abc}$≤$\frac{1}{abc}$．

Answer 1

分析 不妨设a≥b≥c＞0，则a²≥b²≥c²＞0，可得a³+b³≥a²b+ab²，即a³+b³≥ab（a+b），同理b³+c³≥bc（b+c），a³+c³≥ac（a+c），代入即可证明结论．

解答 证明：不妨设a≥b≥c＞0，则a²≥b²≥c²＞0，
∴a³+b³≥a²b+ab²，即a³+b³≥ab（a+b），
同理b³+c³≥bc（b+c），a³+c³≥ac（a+c），
∴$\frac{1}{{a}^{3}+{b}^{3}+abc}$+$\frac{1}{{b}^{3}+{c}^{3}+abc}$+$\frac{1}{{c}^{3}+{a}^{3}+abc}$≤$\frac{1}{a+b+c}•（\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}）$=$\frac{1}{abc}$，
∴$\frac{1}{{a}^{3}+{b}^{3}+abc}$+$\frac{1}{{b}^{3}+{c}^{3}+abc}$+$\frac{1}{{c}^{3}+{a}^{3}+abc}$≤$\frac{1}{abc}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，证明a³+b³≥ab（a+b），b³+c³≥bc（b+c），a³+c³≥ac（a+c），是关键．