Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足：b₁=2a₁，b_n=

bn-1

1+bn-1

（n≥2，n∈N₊），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=1，（1+m）a_n=ma_n-1，从而

an

an-1

=

m

1+m

，（n≥2），由此能证明数列{a_n}是首项为1，公比为

m

1+m

的等比数列．
（2）由b₁=2a₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

（n≥2，n∈N₊），得

1

bn

-

1

bn-1

=1，（n≥2），从而{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，由此能求出b_n=

2

2n-1

，（n∈N^*）．
（3）由b_n=

2

2n-1

，得

2n+1

bn

=2ⁿ（2n-1），由此利用错位相减法能求出数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n，即（1+m）a_n=ma_n-1，
∵m为常数，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

，（n≥2），
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

m

1+m

的等比数列．
（2）解：由（1）得，b₁=2a₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

（n≥2，n∈N₊），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，（n≥2），
∴{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-2

2

，
∴b_n=

2

2n-1

，（n∈N^*）．
（3）解：由（2）知，b_n=

2

2n-1

，则

2n+1

bn

=2ⁿ（2n-1），
∴T_n=2×1+2²×3+2³×5+…+2ⁿ×（2n-1），①
则2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5+…+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得，T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹，
故T_n=2ⁿ⁺¹×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ⁺¹×（2n-3）+6．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．