Question

如图：在平面四边形ABCD中，AB=3

2

，AC=6，∠ACB=45°．
（Ⅰ）求∠ACB的大小；
（Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由正弦定理列出关系式，把AB，AC，以及sin∠ACB代入求出sin∠ABC的值，即可确定出∠ABC的大小；
（Ⅱ）由内角和定理求出∠CAB的度数，再由∠CAD=∠CBD=60°，得到∠ABD度数，进而求出∠ADB度数，利用正弦定理求出AD的长，再利用余弦定理求出CD的长即可．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：

AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

，
即

6

sin∠ABC

=

3 2

sin45°

，
整理得：sin∠ABC=1，
则∠ABC=90°；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠CAB=180°-90°-45°=45°，
又∵∠CAD=∠CBD=60°，
∴∠ABD=30°，
在△ABD中，∠ADB=180°-105°-30°=45°，
由正弦定理

AD

sin∠ABD

=

AB

sin∠ADB

得：AD=

1 2 ×3 2

2 2

=3，
在△ABD中，由余弦定理得：CD²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠DAC=9+36-18=27，
∴CD=3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．