Question

已知函数f（x）=ax⁵+bsin³x+2（a，b∈R），f（lg（log₂10））=5，则f（lg（lg2））=

-1

．

Answer 1

分析：构造辅助函数g（x）=ax⁵+bsin³x，可得该函数为定义域内的奇函数，找出lg（log₂10）与lg（lg2）的关系，由f（lg（log₂10））=5，结合奇函数的性质求解f（lg（lg2））的值．

解答：解：设g（x）=ax⁵+bsin³x，函数的定义域为R，
∵g（-x）=a（-x）⁵+bsin³（-x）=-ax⁵-bsin³x=-g（x），
∴g（x）为奇函数，
那么有：f（x）=g（x）+2．
∵lg（log₂10）=-lg(log210)-1=-lg（lg2），
令x=lg（log₂10），则-lg（lg2）=x，即lg（lg2）=-x，
那么f（x）=g（x）+2=5，g（x）=3，因此g（-x）=-g（x）=-3，
则f（lg（lg2））=f（-x）=g（-x）+2=-3+2=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了对数的运算性质，考查了函数奇偶性的性质，关键是构造函数g（x）=ax⁵+bsin³x，属中档题．