【题目】已知函数
.
(1)若函数的图象与直线
相切,求
的值;
(2)求在区间
上的最小值;
(3)若函数有两个不同的零点
,
,试求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】试题分析:(1)根据直线和曲线相切得到,
,联立两式消元即可得到参数值;(2)对函数求导分
,
,
几种情况讨论函数的单调性,得到函数最值即可;(3)根据题意得到函数不单调,故得到
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,若
由两个相异零点,则必有
,解不等式即可。
解析:
(1)设切点,因切线方程为
,
所以
,①
又,②
由①得,③,将③代入②得
,
所以,因为
在
上递增,则
是唯一根,
所以切点,代入切线方程得
.
(2)因为,
所以
,因
,
当时,
,则
在
上单调递增;
所以在
递增,则
;
当时,
有
,
有
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
则当时,
在
递减,则
;
当时,
在
递增,则
;
当时,
在
递减,在
递增,则
.
综上有
(3)由(2)可知,当时,
在
上单调递增,则
至多有一个零点,又当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,若
由两个相异零点,则必有
,
即,则
.
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【题目】函数f(x)=sinωx(>0)的图象向右平移 个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间[
,
]上单调递增,在区间[
]上单调递减,则实数ω的值为( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】已知椭圆的离心率e=
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过椭圆的左端点A,与椭圆的另一个交点为B.,AB的垂直平分线交
轴于点
,且
·
=4,求
的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,
是椭圆
的右顶点,
是上顶点,
是椭圆位于第三象限上的任一点,连接
,
分别交坐标轴于
,
两点.
(1)若点为左焦点且直线
平分线段
,求椭圆的离心率;
(2)求证:四边形的面积是定值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率e=
,且点P(2,1)在椭圆C上. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点A、B都在椭圆C上,且AB中点M在线段OP(不包括端点)上.求△AOB面积的最大值.
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【题目】已知f(x)=ax-lnx,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)若f(﹣1)=﹣3,求a
(2)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使f(x)在(﹣∞,2)上为增函数?若存在,求出a的范围?若不存在,说明理由.
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【题目】若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且a≠1).
(1)求a,b的值;
(2)求f(log2x)的最小值及相应x的值.
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