Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+n（n≥3）．
（1）求证：a_n=a_n-1+n；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若b_n=|${\frac{{4{a_n}}}{n}$-10|，n∈N^*，求数列{b_n}的前n的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意知S_n+S_n-2=2S_n-1+n（n≥3），可得S_n-S_n-1+S_n-2-S_n-1=n（n≥3），即可得出．
（2）由a_n=a_n-1+n，利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．
（3）由${b_n}=|{\frac{{4{a_n}}}{n}-10}|=|{2n-8}|，n∈{N^*}$，可得${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{8-2n，n≤3}\\{2n-8，n≥4}\end{array}}\right.$，利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由题意知S_n+S_n-2=2S_n-1+n（n≥3），∴S_n-S_n-1+S_n-2-S_n-1=n（n≥3），
∴a_n-a_n-1=n，即a_n=a_n-1+n．
（2）解：由a_n=a_n-1+n，
∴${a_n}=（{{a_n}-{a_{n-1}}}）+（{{a_{n-1}}-{a_{n-1}}}）+…+（{{a_3}-{a_2}}）+{a_2}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．
检验知n=1，2时，结论也成立，故${a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．
（3）解：由${b_n}=|{\frac{{4{a_n}}}{n}-10}|=|{2n-8}|，n∈{N^*}$，
∴${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{8-2n，n≤3}\\{2n-8，n≥4}\end{array}}\right.$，
n≤3时，T_n=6+…+（8-2n）=$\frac{n（6+8-2n）}{2}$=（7-n）n．
n≥4时，T_n=12+0+2+…+（2n-8）
=12+$\frac{（n-3）（0+2n-8）}{2}$=n²-7n+24．
故${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{（{7-n}）n，n≤3}\\{{n^2}-7n+24，n≥4}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．