Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x-1，3），$\overrightarrow{b}$=（1，y），其中x，y都为正实数，若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即x+3y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质就得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=x-1+3y=0，即x+3y=1．
又x，y为正数，
则$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$=（x+3y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}）$=2+$\frac{3y}{x}$+$\frac{x}{3y}$≥2+2$\sqrt{\frac{3y}{x}•\frac{x}{3y}}$=4，当且仅当x=3y=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$的最小值为4．
故选：C．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．