Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（Ⅱ）求数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=

1

3

，继而可求得a₁=

1

3

-c，a₂=-

2

9

，a₃=-

2

27

，利用数列{a_n}为等比数列，可求得c=1，从而可求得数列{a_n}的通项公式；利用S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），可求得

Sn

-

Sn-1

=1，从而可求得S_n=n²；当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，n=1时也适合，从而可得
{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法知，

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），于是可求得数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（1）=

1

3

，故a=

1

3

，
∴f（x）=(

1

3

)x，
∵a₁=f（1）-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

，
又数列{a_n}为等比数列，a₁=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
∴c=1，又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
∴a_n=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n，n∈N^*；
∵S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
又b_n＞0，

Sn

＞0，
∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首相为1公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，于是S_n=n²；
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
∴b_n=2n-1，n∈N^*；
（Ⅱ）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系与等比关系的确定及其通项公式的应用，考查错位相减法，属于难题．