Question

已知椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为2

2

，相应的焦点F₁（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于A，|OF₁|=2|F₁A|．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，在x轴上是否存在点M，对任意的直线l，MF₂为△MPQ的一条角平分线，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，从而可知2b=2

2

，c=2（

a2

c

-c），结合a²=b²+c²，从而求出a，b，c，写出椭圆的方程；
（2）设M（m，0），左焦点为F₂（-2，0），可设直线PQ的方程为x=

y

k

-2，联立直线与椭圆方程的得到关系式，进而得到韦达定理，利用角平分线的性质得到结论．

解答： 解：（1）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则2b=2

2

，
则b=

2

；
又∵|OF₁|=2|F₁A|．
∴c=2（

a2

c

-c），
解得，a=

6

，c=2；
故椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1；
（2）设M（m，0），左焦点为F₂（-2，0）；
可设直线PQ的方程为x=

y

k

-2，
与椭圆方程

x2

6

+

y2

2

=1联立消去x得，
（

1

k2

+3）y²-

4y

k

-2=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

4k

1+3k2

，
y₁y₂=

-2k2

1+3k2

，
∵MF₂为△MPQ的一条角平分线，
∴

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
化简可得，

2

k

y₁y₂-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，
即

2

k

•

-2k2

1+3k2

-（m+2）

4k

1+3k2

=0，
∴（m+3）

4k

1+3k2

=0，
∴m=-3．
故M（-3，0）．

点评：本题主要是运用椭圆的几何性质得到椭圆方程，然后结合新定义得到直线与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示，然后得到点M．属于中档题．