Question

函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny=0（m＞-1，n＞0）上，则

1

m+1

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，适时应用“1”的代换是解本题的关键，可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答： 解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny-1=0上，
∴m+n=1，
又m＞-1，
∴m+1＞0，n＞1，
∴

1

m+1

+

1

n

=

1

2

（m+1+n）（

1

m+1

+

1

n

）=

1

2

（2+

m+1

n

+

n

m+1

）≥

1

2

(2+2

m+1 n • n m+1

)=2，当且仅当m+1=n时取等号．
故答案为：2．

点评：均值不等式是不等式问题中的重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．