Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

MB1

|=1，|

MB2

|=2，

AP

=

AB1

+

AB2

．若|

MP

|＜1，则|

MA

|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：注意到

AB1

⊥

AB2

，所以可以考虑建立平面直角坐标系，将给的向量条件坐标化，然后把所求用的也用坐标表示出来后，再根据式子的特点采用恰当的方法解决问题．

解答： 解：因为

AB1

⊥

AB2

，则建立平面直角坐标系（如图所示），设B₁（0，b），B₂（a，0），M（x，y），又

AP

=

AB1

+

AB2

，∴P（a，b），
∴|

MB1

|²=x²+（y-b）²=x²+y²-2by+b²=1①，|

MB2

|²=（x-a）²+y²=x²+y²-2ax+a²=4②，且|

MP

|²=（x-a）²+（y-b）²=x²+y²+a²+b²-2ax-2by＜1③，
又∵2by≤b²+y²，2ax≤a²+x²，∴-2by≥-b²-y²，-2ax≥-a²-x²，将这两式代入式子①+②后得x²+y²≤5，
由①②得2by=x²+y²+b²-1，2ax=x²+y²+a²-4将这两个式子代入③整理后得x²+y²＞4，
综上可得4＜x²+y²≤5，所以|

MA

|=

x2+y2

∈(2，

5

]．
故答案为(2，

5

]

点评：本题综合考查了向量的加法、向量的模的几何意义，以及利用坐标法将一个求向量模的范围问题转化为利用重要不等式求最值的问题，有一定难度．