Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线的倾斜角为α，且2cos²α=2sin²α+1，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2 3

  3

• B、

  2

• C、

  3

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线的倾斜角为α，可得tanα=

b

a

，从而cosα=

a

c

，sinα=

b

c

，利用2cos²α=2sin²α+1，可得a，b，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线的倾斜角为α，
∴tanα=

b

a

，
∴cosα=

a

c

，sinα=

b

c

，
∵2cos²α=2sin²α+1，
∴2•(

a

c

)2=2•(

b

c

)2+1，
∵2a²=2（c²-a²）+c²，
∴4a²=3c²，
∴e=

c

a

=

2 3

3

．
故选：A．

点评：本题考查双曲线离心率的计算问题．在求双曲线的离心率时，其关键是求出c，a之间的关系，即可求出双曲线的离心率，属于基础题．