Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求点D到平面PMC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设PD的中点为E，连接AE、NE，

由N为PC的中点知EN平行且等于 DC，

又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于 AB

又M是AB的中点，∴EN平行且等于AM，

∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

（2）证明：∵PA=AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD

（3）解：设点D到平面PMC的距离为h，则 ，

∴点D到平面PMC的距离h= ．

【解析】（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD，满足定理所需条件；（2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，则MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，满足定理所需条件；（3）利用等体积，求点D到平面PMC的距离．