【题目】如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=1,AB=2.
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:平面PMC⊥平面PCD;
(3)求点D到平面PMC的距离.
【答案】
(1)证明:设PD的中点为E,连接AE、NE,
由N为PC的中点知EN平行且等于 DC,
又ABCD是矩形,∴DC平行且等于AB,∴EN平行且等于 AB
又M是AB的中点,∴EN平行且等于AM,
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE,而AE平面PAD,NM平面PAD
∴MN∥平面PAD
(2)证明:∵PA=AD,∴AE⊥PD,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE,∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,
∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,
又MN平面PMC,
∴平面PMC⊥平面PCD
(3)解:设点D到平面PMC的距离为h,则 ,
∴点D到平面PMC的距离h= .
【解析】(1)欲证MN∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可,设PD的中点为E,连接AE、NE,易证AMNE是平行四边形,则MN∥AE,而AE平面PAD,NM平面PAD,满足定理所需条件;(2)欲证平面PMC⊥平面PCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直,而AE⊥PD,CD⊥AE,PD∩CD=D,根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD,而MN∥AE,则MN⊥平面PCD,又MN平面PMC,满足定理所需条件;(3)利用等体积,求点D到平面PMC的距离.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2cosA= .
(1)若a2﹣c2=b2﹣mbc,求实数m的值;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
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【题目】设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f′(x)是函数f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π),且x≠ 时,(x﹣
)f′(x)>0,则函数y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零点个数为( )
A.2
B.4
C.5
D.8
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【题目】已知函数f(x)=x2+2bx+c,且f(1)=f(3)=﹣1.设a>0,将函数f(x)的图象先向右平移a个单位长度,再向下平移a2个单位长度,得到函数g(x)的图象. (Ⅰ)若函数g(x)有两个零点x1 , x2 , 且x1<4<x2 , 求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设连续函数在区间[m,n]上的值域为[λ,μ],若有 ,则称该函数为“陡峭函数”.若函数g(x)在区间[a,2a]上为“陡峭函数”,求实数a的取值范围.
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 ,BC=
,AC=1,∠ACB=90°,则此球的体积等于( )
A. π
B. π
C. π
D.8π
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【题目】已知抛物线C:y2=4x,过焦点F作与x轴垂直的直线l1 , C上任意一点P(x0 , y0)(y0≠0)处的切线为l,l与l1交于M,l与准线交于N,则 = .
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)求f(f( ));
(2)若x0满足f(f(x0))=x0 , 且f(x0)≠x0 , 则称x0为f(x)的二阶不动点,求函数f(x)的二阶不动点的个数.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠ADC=90°,PD=AD=AB=1,DC=2.
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)求二面角A﹣PB﹣C的大小.
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