Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝(n－1)S_n＋2n(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断a_p－1，a_q－1，a_r－1是否成等比数列？并说明理由．

Answer 1

解析：(1)∵a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝(n－1)S_n＋2n，

∴当n＝1时，有a₁＝(1－1)S₁＋2，解得a₁＝2.

由a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝(n－1)S_n＋2n，①

a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＋(n＋1)a_n＋1＝nS_n＋1＋2(n＋1)，②

②－①得：(n＋1)a_n＋1＝nS_n＋1－(n－1)S_n＋2.③

由③式得：(n＋1)a_n＋1＝nS_n＋1－(n－1)S_n＋2＝n(S_n＋1－S_n)＋S_n＋2，

得a_n＋1＝S_n＋2.④

当n≥2时a_n＝S_n－1＋2，⑤

⑤－④得：a_n＋1＝2a_n.

由a₁＋2a₂＝S₂＋4，得a₂＝4，

∴a₂＝2a₁.

∴数列{a_n}是以a₁＝2为首项，2为公比的等比数列．

∴a_n＝2ⁿ.

(2)∵p，q，r成等差数列，

∴p＋r＝2q.

假设a_p－1，a_q－1，a_r－1成等比数列，

则(a_p－1)(a_r－1)＝(a_q－1)²，

即(2^p－1)(2^r－1)＝(2^q－1)²，

化简得：2^p＋2^r＝2×2^q.(*)

∵p≠r，

∴2^p＋2^r＞2＝2×2^q，这与(*)式矛盾，故假设不成立．

∴a_p－1，a_q－1，a_r－1不是等比数列．