Question

已知x，y满足条件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，M（2，1），P（x，y），求：
（1）

y+7

x+4

的取值范围；
（2）x²+y²的最大值和最小值；
（3）

OM

•

OP

的最大值；
（4）|

OP

|cos∠MOP的最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：综合题,数形结合,不等式的解法及应用

分析：做出条件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，对应的区域，分析各个问题中的几何意义，结合图形，即可得出结论．

解答： 解：条件

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

，对应的区域如图所示，A（4，1），B（-3，2），C（-1，-6），则
（1）

y+7

x+4

表示P（x，y）与（-4，-7）连线的斜率，
由k_PB=

2+7

-3+4

=9，k_PC=

-6+7

-1+4

=

1

3

，可得

y+7

x+4

的取值范围[

1

3

，9]；
（2）x²+y²表示P（x，y）与原点距离的平方，
由（0，0）到直线7x-5y-23距离的平方为

232

49+25

=

529

74

，
∴可得x²+y²的最大值为

529

74

，最小值为0；
（3）

OM

•

OP

=2x+y表示直线的纵截距，在A（4，1）处，

OM

•

OP

的最大值为9；
（4）

OM

•

OP

的最小值，在C（-1，-6）处取得为-8，
∵

OM

•

OP

=|

OM

||

OP

|cos∠MOP
∴|

OP

|cos∠MOP的最小值为

-8

5

=-

8 5

5

．

点评：本题考查简单线性规划，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，明确目标函数的几何意义是关键．