已知函数,,其中,为自然对数的底数.
(1)若在处的切线与直线垂直,求的值;
(2)求在上的最小值;
(3)试探究能否存在区间,使得和在区间上具有相同的单调性?若能存在,说明区间的特点,并指出和在区间上的单调性;若不能存在,请说明理由.
(1);(2)
(3)当时,不能存在区间,使得和在区间上具有相同的单调性;当时,存在区间,使得和在区间上均为减函数.
解析试题分析:(1)切点处的导数值,即为切线的斜率,根据在处的切线与直线垂直,斜率乘积为,建立的方程;
(2)遵循求导数、求驻点、讨论区间单调性、确定极值(最值);
(3)求的定义域为,及导数 .
根据时,,知在上单调递减.
重点讨论的单调性.
注意到其驻点为,故应讨论:
①, ②的情况,作出判断.
综上,当时,不能存在区间,使得和在区间上具有相同的单调性;当时,存在区间,使得和在区间上均为减函数.
试题解析:(1),,
在处的切线与直线垂直,
3分
(2)的定义域为,且 .
令,得. 4分
若,即时,,在上为增函数,;5分
若,即时,,在上为减函数,
; 6分
若,即时,
由于时,;时,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率与日产量(件)之间近似地满足关系式(日产品废品率).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额)
(1)将该车间日利润(千元)表示为日产量(件)的函数;
(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知某工厂生产件产品的成本为(元),
问:(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?
(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?
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