Question

已知命题p：关于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解；命题q：f（x）=log₂（x²-2mx+

1

2

）在x∈[1，+∞）单调递增；若?p为真命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，判断命题p为真命题时，实数m的取值范围，然后，再判断命题q为真命题时，实数m的取值范围．最后，结合条件：?p为真命题，p∨q是真命题，得到p假q真，最后，得到实数m的取值范围．

解答： 解：由命题p：关于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解；
可设函数f（x）=x²-mx-2，
∴f（1）≥0，
解得 m≤-1，
由命题q得
x²-2mx+

1

2

＞0，在区间[1，+∞）上恒成立，且函数y=x²-2mx+

1

2

＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，
根据x²-2mx+

1

2

＞0，在区间[1，+∞）上恒成立，得
m＜

3

4

，
由函数y=x²-2mx+

1

2

＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，得
m≤1，
∴由命题q得：
m＜

3

4

，
∵?p为真命题，p∨q是真命题，
得到p假q真，
∴m∈（-1，

3

4

）．
∴实数m的取值范围（-1，

3

4

）．

点评：本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的判断方法和技巧、函数的单调性与应用等知识，属于中档题．解题关键是准确判断两个命题分别为真命题时，实数m的取值范围．