【题目】设点在圆
上,直线
上圆
在点
处的切线,过点
作圆
的切线与
交于
点.
(Ⅰ)证明为定值,并求动点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与曲线
分别交于
和
,且
,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)设与圆
相切于点
,根据题意得
,进而得
,利用椭圆的定义,即可求解椭圆的方程.
(2)(ⅰ)当直线的斜率为零或斜率不存在时,四边形
的面积为
;
(ⅱ)当直线的斜率
存在且不为零时,设
:
,联立方程组,得
,得到
,同理得
,进而得到四边形面积的表达式,利用基本不等式,即可求解四边形面积的最小值.
详解:(1)设与圆
相切于点
,作
轴于点
,因为
,
所以,
而,
又因为,所以,动点
的轨迹为椭圆,
,
,所以点
的轨迹
的方程为:
.
(2)(ⅰ)当直线的斜率为零或斜率不存在时,四边形
的面积为
;
(ⅱ)当直线的斜率
存在且不为零时,设
:
,
,
,由
得:
,
由,
,
,
所以,
而:
,所以同理得:
,
所以,令
(
),则
,所以
,
所以,即
时,四边形
面积的最小值
.
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【题目】已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2cosωx).设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈
.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间
上的取值范围
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的
,得到曲线
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于
轴对称的两条直线
与
分别交曲线
于
、
和
、
,且点
在第一象限,当四边形
的周长最大时,求直线
的普通方程.
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【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
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【题目】已知定义在上的偶函数
和奇函数
,且
.
(1)求函数,
的解析式;
(2)设函数,记
.探究是否存在正整数
,使得对任意的
,不等式
恒成立?若存在,求出所有满足条件的正整数
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某厂生产一种机器的固定成本为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对此产品的年求量为500台,销售的收入函数为(万元)(
),其中
是产品售出的数量(单位:百台).
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
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【题目】某校为调查期末考试中高一学生作弊情况,随机抽取了200名高一学生进行调查,设计了两个问题,问题1:你出生月份是奇数吗?问题2:期末考试中你作弊了吗?然后让受调查的学生每人掷一次币,出现“正面朝上”则回答问题1,出现“反面朝上”则回答问题2,答案只能填“是”或“否”不能弃权.结果统计后得到了53个“是”的答案,则估计有百分之几的学生作弊了?
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【题目】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为
A. B.
C. 39 D.
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