Question

20．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=2sint\end{array}\right.$（t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离$d=\frac{{|{2cost-2sint+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{t+\frac{π}{4}}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}+2cos（{t+\frac{π}{4}}）$，即可求点P到直线l的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对?t∈R，有acost-2sint+4＞0恒成立，即$\sqrt{{a^2}+4}cos（{t+φ}）＞-4$（其中$tanφ=\frac{2}{a}$）恒成立，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-2\sqrt{2}$，得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ρcosθ-ρsinθ}）=-2\sqrt{2}$，
化成直角坐标方程，得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x-y}）=-2\sqrt{2}$，即直线l的方程为x-y+4=0．
依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离$d=\frac{{|{2cost-2sint+4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{t+\frac{π}{4}}）+4}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}+2cos（{t+\frac{π}{4}}）$，
当$t+\frac{π}{4}=2kπ+π$，即$t=2kπ+\frac{3}{4}π，k∈Z$时，${d_{min}}=2\sqrt{2}-2$．
故点P到直线l的距离的最小值为$2\sqrt{2}-2$．
（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对?t∈R，有acost-2sint+4＞0恒成立，
即$\sqrt{{a^2}+4}cos（{t+φ}）＞-4$（其中$tanφ=\frac{2}{a}$）恒成立，∴$\sqrt{{a^2}+4}＜4$，又a＞0，解得$0＜a＜2\sqrt{3}$，
故a的取值范围为$（{0，2\sqrt{3}}）$．

点评 本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．