Question

【题目】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)过点(3，－)，离心率e＝；

(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

（1）根据题意，由双曲线的离心率，得到a=2b，然后分焦点在x轴和焦点在y轴设出标准方程，将点(3，－)代入计算即可得双曲线的方程．（2）由实轴长和虚轴长相等得a=b,即双曲线为等轴双曲线，设出等轴双曲线方程，将点坐标代入即可得答案.

(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)．

因为双曲线过点(3，－)，则.①

又e＝，故a2＝4b2.②

由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为.

若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 (a＞0，b＞0)．

同理可得b2＝－ ，不符合题意．

综上可知，所求双曲线的标准方程为.

(2)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，

所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．

因为双曲线过点P(4，－ )，

所以 16－10＝λ，即λ＝6.

所以 双曲线方程为x2－y2＝6.

所以 双曲线的标准方程为.