Question

已知函数f（x）=2sin（ωx-

π

3

）cosωx+

3

2

（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的值域；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（

A

2

）=

3

2

，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx-

π

3

），易得值域和ω值；
（2）由（1）和题意可得A=

2π

3

，由余弦定理可得a²=4-bc，由基本不等式可得可得bc≤1，代入可得a的最小值．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2sin（ωx-

π

3

）cosωx+

3

2

=2（

1

2

sinωx-

3

2

cosωx）cosωx+

3

2

=sinωcosωx-

3

cos²ωx+

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

（2cos²ωx-1）
=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin（2ωx-

π

3

），
∴f（x）的值域为[-1，1]，
∵最小正周期为π，∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，
（2）由（1）知f（x）=sin（2x-

π

3

），
由f（

A

2

）=

3

2

可得sin（A-

π

3

）=

3

2

，
∴A-

π

3

=

π

3

或A-

π

3

=

2π

3

，解得A=

2π

3

，或A=π（舍去）
∴由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos

2π

3

=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=4-bc，
再由2=b+c≥2

bc

可得bc≤1，即-bc≥-1
当且仅当b=c=1时取等号，
∴a²=4-bc≥3，∴a≥

3

，
∴a的最小值为：

3

点评：本题考查余弦定理，涉及三角函数公式和基本不等式求最值，属中档题．