Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sin2x+3，cosx）$，$\overrightarrow b=（1，2cosx）$，设函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求函数f（x）的最小正周期和其图象的对称中心；
（2）当$x∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算，并化简即可求得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，进而求出f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）根据x的范围便可求出$2x+\frac{π}{6}$的范围，根据f（x）的解析式即可求出f（x）的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$\sqrt{3}sin2x+3+2co{s}^{2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+4$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$；
∴f（x）的周期T=π；
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，则x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴图象对称中心为：$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，4）$，k∈Z；
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$；
$x∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$；
∴f（x）∈[3，6]；
即f（x）的值域为[3，6]．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，周期的计算公式，正弦函数的对称中心，以及正弦函数的图象．