Question

7．解下列不等式：
（1）$\frac{x-1}{x+3}$≤2
（2）$\frac{{x}^{2}+2x-3}{-{x}^{2}+x+6}$＜0．

Answer 1

分析 （1）根据解分式不等式的解法即可求得不等式的解集；
（2）利用分式不等式的解法，将不等式等价转化为（x²+2x-3）（-x²+x+6）＜0，再进行化简，分别求解后取交集，即可得到不等式的解集．

解答 解：（1）∵$\frac{x-1}{x+3}$≤2，
∴$\frac{x-1}{x+3}$-$\frac{2（x+3）}{x+3}$≤0，
∴$\frac{x+7}{x+3}$≥0，
∴x＞-3或x≤-7，
故不等式的解集是{x|x＞-3或x≤-7}；
（2）∵$\frac{{x}^{2}+2x-3}{-{x}^{2}+x+6}$＜0，
∴（x²+2x-3）（-x²+x+6）＜0，
∴（x+3）（x-1）（x-3）（x+2）＞0，
解得：x＜-3或-2＜x＜1或x＞3，
故不等式的解集是{x|x＜-3或-2＜x＜1或x＞3}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，高次不等式的解法．要求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．高次不等式一般选用“穿根法”进行求解，“穿根法”要注意先确定各因式的根，在数轴上按照从小到大标出来，确定各因式的系数为正值，根据“奇穿偶不穿”的原则，即可得到不等式的解集．属于基础题．