Question

8．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（1）求f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，再沿x轴压缩到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[-π，0]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．
（2）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1=4cosx（sinx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cosx•$\frac{1}{2}$）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
因为x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，所以2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为2×（-$\frac{1}{2}$）=-1；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2×1=2，故函数f（x）的值域为[-1，2]．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，可得y=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的图象；
再沿x轴压缩到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数y=g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$） 的图象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函数y=g（x）的单调递增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再结合x∈[-π，0]，可得函数y=g（x）在x∈[-π，0]上的单调递增区间为：
[-π，-$\frac{5π}{6}$]、[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]、[-$\frac{π}{12}$，0]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的增区间，属于中档题．