Question

已知，其中是常数．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）求证：的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴．

Answer 1

(1)；(2)证明见解析．

试题分析：(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，由于本题中有对数符号，有根式，因此根据求出后，最好能再求出函数的定义域，验证下它是奇函数；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，由于表达式不太简便，因此我们可以从简单的方面入手试试看，看是不是单调函数，本题函数正好能根据单调性的定义证明此函数是单调函数，故本题结论得证．
试题解析：（1）解法一：设定义域为,则：
因为是奇函数，所以对任意，有，    3分
得.                        5分
此时，，，为奇函数。                6分
解法二：当时，函数的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数.    2分
当时，函数的定义域是一切实数.                   3分
要使得函数是奇函数，则对成立。              5分
所以                               6分
（2）设定义域内任意，设


                 9分
当时，总有，
，得；           11分
当时，
，得。
故总有在定义域上单调递增                     13分
的图像上不存在两点，使得所连的直线与轴平行              14分