Question

3．设a＞0，b＞0，若a+b=4，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$，由此利用均值定理能求出$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=4，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{1}{4}（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=$\frac{5}{4}$+$\frac{b}{4a}$+$\frac{a}{b}$≥$\frac{5}{4}$+2$\sqrt{\frac{b}{4a}•\frac{a}{b}}$=$\frac{9}{4}$．
当且仅当$\frac{b}{4a}=\frac{a}{b}$时取等号，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查代数式和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．