Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1（a≥0）．
（1）试讨论函数f（x）在[0，2]的单调性；
（2）若a＞1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（3）若函数f（x）在区间（0，2）上只有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1，在[0，2]上是减函数．
当a＞0时，函数f（x）=ax²-2x+1的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=，
若≥2，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是减函数．
若，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数．
综上，当 a=0或≥2 时，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，2]上是减函数；
当，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数．
（2）若a＞1，则，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数，
故函数的最大值为 f（2）=4a-3，最小值为 f（）=1-．
（3）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在区间（0，2）上只有一个零点x=，符合题意．
当a＞0时，
①若函数f（x）在区间（0，2）上有两个相等的零点（即一个零点），
则，解得a=1，符合题意．
②若函数f（x）有二个零点，一个零点在区间（0，2）内，另一个零点在区间（0，2）外
则f（0）f（2）＜0，即4a-3＜0，得．
综上：f（x）在区间（0，2）上有一个零点时a的取值范围为，或a=1．
分析：（1）分a=0、≥2、三种情况，分别利用函数的图象性质，研究函数 在[0，2]的单调性．
（2）根据a＞1，则，函数f（x）=ax²-2x+1，在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数，由此求得函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．
（3）当a=0 时，f（x）为一次函数，经检验满足条件．当a＞0时，分函数f（x）在区间（0，2）上有两个相等的零点、函数f（x）只有一个零点 两种情况，分别求出
a的取值范围，再取并集．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类的层次，属于中档题．