Question

（本小题满分14分）
已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

Answer 1

,存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点

解:(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.……1分
设椭圆的标准方程是.……2分
则……4分
.……5分
椭圆的标准方程是……6分
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.……7分
设M,N两点的坐标分别为
联立方程: 
消去整理得,
有…9分
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,
所以,……10分 所以,,
即
所以,
即 ……11分得……12分
所以直线的方程为,或.……13分
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.……14分