Question

如图，已知点，且的内切圆方程为.
（1）  求经过三点的椭圆标准方程；
（2）  过椭圆上的点作圆的切线，求切线长最短时的点的坐标和切线长。

Answer 1

,

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，------------------1分
依题意知直线AB的斜率存在，故设直线AB：y=k（x+4）        ------------------2分
因圆的圆心为（2，0），半径，又因为直线AB与圆相切
所以，圆心为（2，0）到直线AB的距离为------------------3分
解得（为直线AC的斜率）
所以直线AB的方程为，------------------4分
又因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，所以B点横坐标为，
把代入直线AB的方程解得，------------------5分
把A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得m=16，n=1----------6分
所以椭圆的标准方程为.------------------7分
(Ⅱ)设点M，则圆心（2，0）与点M的距离为 -8分
切线长，，--10分
当时，，                ------------------12分
此时，从而点的坐标为          ------------------14分
解法二：(Ⅰ)因为AB=AC，点A(-4,0)在x轴上，且的内切圆方程为，
所以B点横坐标为，-----------------1分
如图，由三角形内切圆的性质知∽
∴即，从而------------------3分
当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则将A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得=16，="1" ，
∴椭圆的标准方程为--5分
当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则将A(-4,0)，代入椭圆方程得，解得=16，=与矛盾----------6分
综上所述，所求椭圆的标准方程为.------------------7分
(Ⅱ) 依题意设点M，则圆心（2，0）与点M的距离为  ------8分
则切线长，而，---------10分
当时，，-----12分
此时，从而点的坐标为 -----14分