Question

4．若数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=a_n^2+{a_n}$，n∈N₊，且b_n=$\frac{1}{{1+{a_n}}}$，P_n=b₁•b₂…b_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，则2P_n+S_n=2．

Answer 1

分析 由已知数列递推式得到${b}_{n}=\frac{1}{1+{a}_{n}}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，及${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，然后通过累积和累加分别求得P_n、S_n，作和后得答案．

解答 解：由${a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}$，得${a}_{n+1}-{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}＞0$，∴数列是增数列，
并且$\frac{1}{{a}_{n}}$＞0，
又∵${a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}$，即a_n+1=a_n（1+a_n），
∴${b}_{n}=\frac{1}{1+{a}_{n}}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，
又由${a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}+{b}_{n}$，
∴${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴${S}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+$…$+\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
P_n=b₁•b₂…b_n=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}…\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}$．
∴$2{P}_{n}=2\frac{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n+1}}$．
∴2P_n+S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累加法和累积法求数列的通项公式，是中档题．